1. 研究目的与意义
电子计算机的出现，促进了计算数学的发展，在解决科学、工程问题中，有限元法及边界元法得到了广泛应用，位势理论与积分方程（包括奇异积分方程）作为上述两种方法的数学基础，日益受到重视。
微分方程与积分方程，都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点。场的问题，用前者处理通常比较方便，而后者在讨论源的问题时，显示出他的优越性，对同一个问题，当用微分方程描述时，由于在求近似解的过程中涉及数值微分，所以往往引起较大的误差；而如果用积分方程来描述，因为数值积分引起的相对误差较小，虽然计算量较大，但由于累积误差较小，因而往往容易得到较理想的结果。当把区域上的微分方程化为在边界上的积分方程时，由于维数降低，计算量减少。在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美。因此，如今“物理问题变得越来越复杂，积分方程变得越来越有用”。
积分方程论的发展，始终是与数学物理问题的研究紧密相连的。通常认为，最早自觉应用积分方程并求出它的解来的是Abel，他在1823年从解决力学上的等时曲线问题引出了后来以他的名字命名的Abel方程。实际上，在此以前，Laplace于1782年所提出的求Laplace变换的反变换问题，就要求解出一个积分方程。Fourier实际上已求出了一类积分变换的反变换，这相当于解出了一类积分方程。
2. 研究内容和预期目标
全文共分为六个部分。第一部分为全文的基础，主要对第一类Fredholm方程的特征值与特征函数及退化核方程进行综述。第二部分则是阐述Schmidt-Picard定理，并研究其应用。第三部分则是讨论对不同类型的一类积分方程进行逐次逼近法。第四部分将分析化一类Fredholm方程为二类Fredholm方程的具体条件。第五部分将讨论某些特殊的、有重要应用的一类Fredholm方程用母函数法求解的过程。第六部分具体介绍特殊的Fredholm方程及其定理。
本文采用理论分析、实证分析等研究方法，围绕Fredholm方程展开相关定理及应用，并结合具体例题来深入分析其解法。写作提纲如下：
3. 国内外研究现状
Kline在其著作《古今数学思想》中认为第一个清醒认识到应用积分方程并求解的人是Abel，Abel分别于1823年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但直到1888年 du BoisRaymond才首次提出“积分方程”的名称。
一般认为，积分方程这一学科的基础是由Fredholm和Volterra奠定的。
后来，德国科学家D.Hilbert和E.Schmidt等对积分方程的基本理论也做出了重要的贡献。
4. 计划与进度安排
进度计划（包括起讫日期、工作内容等）：
1、2022.12.10-2022.12.15
与指导老师见面，讨论论文选题，确定论文写作的进度计划；
5. 参考文献
[1] 沈以谈. 积分方程（第3版）[M]. 北京：清华大学出版社，2012.
[2] 李星. 积分方程[M]. 北京：科学出版社，2008.
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