1. 研究目的与意义
理由：我之前选修过实变函数和泛函分析，对这两门课也非常感兴趣，但由于要准备考研，所以没有花大功夫来深入了解这两门课。这次有幸选到了史平老师的有关不动点定理及其应用的课题，我也希望能进一步丰富自己的知识储备，通过对不动点定理的研究进一步加深自己对实变函数和泛函分析的理解。
意义：关于不动点的研究有着很长的历史，相应的不动点定理也很多。度量空间中的有些不动点定理有着重要的理论意义和应用价值，如在数学其他分支和博弈论中的应用等。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：本课题主要讨论Banach不动点定理、Brouwer不动点定理、Schauder不动点定理及其应用。
关键问题：度量空间中的不动点定理的证明，及其在其他问题的研究方面的具体应用。
3. 国内外研究现状
《Fixed Point Theorems and Their Application》是一本以不动点定理及其应用为专题所著的数学出版物。该书全面地论述了数学各个分支中与此论题有关的基本结果。中国科学院应用数学研究所也参与了出版。
如今，微分方程数学模型是一类应用十分广泛而且常见的数学模型。微分方程在很多学科领域内都有着重要的应用,如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。目前，国内对于利用不动点理论来解决高阶微分方程数学模型解的情况的研究是比较深入的。
当前国内外对不动点理论的研究的一个主要方向是抽象空间上的映射的不动点的存在性，比如延边大学的研究员就曾给出抽象凸空间上映射类K的两个性质,利用已知抽象凸空间上的重叠点定理讨论抽象凸空间上映射的不动点存在问题,得到了若干新的不动点定理,同时进一步给出了抽象凸空间族的乘积空间上映射族的聚合不动点定理。
4. 计划与进度安排
研究计划：本课题为综述性论文，主要讨论以下内容： 1、度量空间的性质和具体的例子； 2、度量空间中的不动点定理，如Banach不动点定理、Brouwer不动点定理、Schauder不动点定理； 3、度量空间中不动点定理的应用，如讨论极限的存在性，隐函数存在定理，某些常微分方程解的存在性，博弈论中的问题等。
我计划于1月至2月中旬，自主学习不动点理论，包括泛函分析的一些基础知识，度量空间的概念，并及时向老师寻求帮助，同时整理好收集的资料，详细阅读后，合理学习其中的知识；
5. 参考文献
1、程其襄等，实变函数与泛函分析基础（第四版），高等教育出版社；2、张恭庆，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社；3、王声望、郑维行，实变函数与泛函分析概要（第四版）第二册，高等教育出版社；4、Kim C. Border，Fixed point theorems with applications to economics and game theory，世界图书出版公司。
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