1. 研究目的与意义
实变函数与泛函分析是数学专业十分重要的课程对于分析学的学习有着决定性意义.本文写作的过程其实也是学习的过程,为了加强对实变函数与泛函分析的理解从而选择了本课程.
实变函数以实数作为自变量的函数,实变函数论以实变函数作为研究对象的数学分支.它是微积分学的进一步发展,它是以点集论为基础的.点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论,也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质.
由于牛顿-莱布尼兹所创造的微积分学有着不少的缺陷,如可积的函数太少等,这些缺陷在科研中造成了很大的困难,因此实变函数的出现大大扩充了可积的空间使得本在黎曼积分中不可积的函数通过另一种方法满足了条件.因此实变函数论在理论中有着十分重要的意义.
2. 研究内容和预期目标
本文共分为四个部分,第一部分为引言,主要是对有界变差函数诞生的契机以及基本思路的介绍.第二部分则是介绍有界变差函数的概念及例子.第三部分则是介绍有界变差函数的重要性质和相关定理.第四部分讨论有界变差函数与绝对连续函数的关系.
本文采取文献研究、理论分析、研读课本等研究方法,围绕“有界变差函数”这一主题展开,在研究国内外相关文献的基础上,总结有界变差函数的定义、性质、定理、应用以及与其他知识点的联系等.具体写作提纲如下:
3. 国内外研究现状
国内外许多数学家对实变函数与泛函分析进行分析与研究,而且许多大学教师也对其进行研究.包括主要研究调和分析Elias M.stein以及他的学生陶哲轩都对实分析领域有着很大的贡献.
而目前通用的实变函数教材(如程其襄、周民强、郑维行等作者),顺着勒贝格的思路走在点集论的基础上讨论测度由此引出积分新的定义,在研究微分上的性质,这与数学分析中研究的思路很像.泛函分析介绍了无穷维向量空间上的度量空间,线性算子与泛函,广义函数和紧算子等.当前对于实变函数以及泛函分析的讨论研究已经达到比较高级阶段,发展也相对完善.4. 计划与进度安排
进度计划（包括起讫日期、工作内容等）：
1、2022.11.1-2022.11.15
与指导老师见面，讨论论文选题，确定论文写作的进度计划；
5. 参考文献
[1]程其襄等，实变函数与泛函分析基础（第四版）,高等教育出版社.
[2]周民强,实变函数论（第二版）,北京大学出版社.
[3]王声望,郑维行.实变函数与泛函分析概要.2版.北京:高等教育出版社,1992.
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